← voltar ao ÁLETRA

Relatividade Geral · roteiro de laboratório

ÁLETRA em nove leituras

Nove atividades para quem já sabe calcular Christoffel e ainda não viu o que ele faz. Cada uma pega uma equação, abre termo a termo, e termina numa coisa que se observa na tela.

Antes de começar

O ÁLETRA abre no navegador, não instala nada e não manda nada para servidor nenhum. A tela tem três partes, e a mais importante é a menor.

O seletor da esquerda troca a superfície, o da direita troca a leitura — qual objeto geométrico está sendo medido. Os campos embaixo são editáveis: a métrica é digitada, não escolhida num menu.

Os links deste roteiro já abrem na superfície e na leitura certas. Ao lado de cada um há o número que deve aparecer: se bater, você está no lugar certo. Arraste o ponto branco para mover-se pela superfície e a ponta do vetor para mudá-lo — nos dois painéis, indiferentemente.

Atividade 1

O número que não precisa de métrica

⟨ω, v⟩ = ωi vi a contração de um covetor com um vetor
vi
Um vetor tangente: direção e comprimento, mora em TpM.
ωi
Não é uma seta. É uma máquina linear que come uma seta e devolve um número — mora em T*pM, o espaço dual.

A figura certa para ω não é uma flecha: é uma família de folhas paralelas, os conjuntos de nível da função linear. E ⟨ω, v⟩ conta quantas folhas a seta atravessa. Um ω "maior" tem folhas mais juntas, não uma flecha mais longa.

Repare no que não apareceu na equação: nenhum gij. A contração está definida antes de existir métrica. É o objeto mais primitivo da teoria, e é por isso que o gradiente df é naturalmente um covetor, que a fase de uma onda plana é kμxμ, e que o momento com índice embaixo é o que aparece na integral de ação.

Em ℝ³ com a métrica euclidiana os números de ωi e de vi coincidem, e por isso a distinção nunca morde na graduação. Ela morde aqui.

No ÁLETRA

Abrir na esfera, leitura ⟨ω, v⟩ — deve mostrar 2,30, glosado como "2 folhas + 0,30".

  1. Confira à mão: ω = (6,00 ; 2,50) e v = (0,22 ; 0,39), logo 6·0,22 + 2,5·0,39 = 2,30. O número na tela é essa soma, e nada mais.
  2. Arraste a ponta do vetor. A contagem muda continuamente, e a fração que sobra fica destacada no pedaço final da seta.
  3. Agora escreva outro valor em ωθ — tente 12 —, sem tocar em v. As folhas adensam e o número sobe. O vetor não mudou: quem mudou foi o covetor. São objetos diferentes.
  4. O experimento que fixa a ideia. Vá para o plano euclidiano, onde ω = (1,50 ; 0,80), e digite v = (-0,80 ; 1,50) — um vetor ao longo das folhas. O número vai a 0,00 com v ≠ 0 e ω ≠ 0.

Esse zero é o núcleo de ω. Num espaço de dimensão 2 ele é uma reta inteira, não um ponto — um covetor não nulo aniquila toda uma direção. É a razão de "perpendicular" e "no núcleo de" serem coisas diferentes até você escolher uma métrica.

Atividade 2

Baixar índice é usar a métrica, sempre

vi = gij vj o isomorfismo musical ♭

TpM e T*pM têm a mesma dimensão, logo são isomorfos — mas não canonicamente. Não existe maneira de transformar um vetor num covetor sem escolher uma estrutura extra. A métrica é essa escolha, e é a única.

Toda vez que você sobe ou desce um índice em Relatividade Geral, você está usando g. É por isso que uμuμ = −1 é uma afirmação sobre a métrica e não sobre o vetor, e por isso que a mesma conta em Minkowski troca um sinal e em Schwarzschild multiplica por 1/(1 − 2M/r).

No ÁLETRA

Abaixo dos campos do vetor há um valor derivado, v♭ = (… ; …), e o slider v ⇄ v♭ transforma a seta em pilha continuamente. Compare as três métricas:

o mesmo controle, três métricas
superfícievv♭o que aconteceu
euclidiano (1,20 ; 0,70) (1,20 ; 0,70) g = δ: nada. Daí a confusão inteira.
esfera (0,22 ; 0,39) (0,22 ; 0,32) só a 2ª componente muda: gφφ = sen²θ.
Schwarzschild (1,10 ; 0,25) (1,65 ; 9,00) gφφ = r² = 36 em r = 6.
  1. Em Schwarzschild, a componente φ foi multiplicada por 36. "As componentes de v" não é uma pergunta bem posta enquanto você não disser em que posição está o índice.
  2. Confira a norma: |v|² = vivi = 1,65·1,10 + 9,00·0,25 = 4,065. A tela mostra 4,06 ao lado.
  3. Puxe o slider v ⇄ v♭ devagar em cada superfície. No plano a seta e a pilha ficam com a mesma cara; na esfera e em Schwarzschild, não.
Atividade 3

Área orientada, e por que Fμν é antissimétrico

(ω ∧ η)(u, v) = ω(u)η(v) − ω(v)η(u) o produto exterior de duas 1-formas

Uma 2-forma come dois vetores e devolve um número, de modo antissimétrico. A figura: ω dá uma família de folhas, η dá outra, e cruzadas elas fazem um ladrilho de células. O número é a contagem de células que o paralelogramo (u, v) cerca.

Da antissimetria saem duas coisas de graça. Trocar u por v troca o sinal — o que está sendo medido é área orientada. E alimentar o mesmo vetor duas vezes dá zero, porque um paralelogramo degenerado não cerca nada.

É a mesma estrutura de F = dA: dizer que Fμν é antissimétrico e dizer que F é uma 2-forma são a mesma frase, mas o segundo nome já avisa o que o objeto quer — ser integrado sobre uma superfície. O elemento de volume √(−g) d⁴x é a mesma ideia em grau 4.

No ÁLETRA

Plano euclidiano, leitura (ω∧η)(u, v) — −5,58. Aparecem um segundo vetor u e uma segunda pilha η, em azul.

  1. Olhe o ladrilho: as duas famílias de folhas se cruzam e as células são as áreas entre elas. O número conta as que o paralelogramo cerca.
  2. Troque os valores de u e v entre si. O desenho é o mesmo ladrilho, e o sinal vira. Orientação não é enfeite de notação.
  3. Ponha u paralelo a v (dobre as componentes de v). A contagem cai para perto de zero: sem paralelogramo, sem área.
  4. Repita na esfera (−8,47). O ladrilho agora vive no plano tangente e acompanha o ponto pela superfície.
Atividade 4

d² = 0, e metade das equações de Maxwell

(dω)ij = ∂iωj − ∂jωi a derivada exterior de uma 1-forma

d leva uma k-forma numa (k+1)-forma, e de novo: nenhuma métrica, nenhuma conexão. O significado de dω(u, v) é a circulação de ω em torno do paralelogramo infinitesimal gerado por u e v, por unidade de área — o teorema de Stokes em forma de germe.

E daí sai o fato central: se ω = df, então dω = 0, porque ∂i∂jf = ∂j∂if — derivadas parciais mistas comutam. Toda forma exata é fechada, e isso é d² = 0.

Escreva F = dA e você ganhou dF = 0 sem fazer conta nenhuma: são a lei de Faraday e ∇·B = 0, as duas equações homogêneas de Maxwell, que deixam de ser leis empíricas e passam a ser identidades. A identidade de Bianchi é o mesmo fenômeno um andar acima.

No ÁLETRA

Plano euclidiano, leitura dω(u, v) — −3,86. Aqui ω é um campo digitado em x e y, e não um par de números.

  1. O padrão é ω = (−y, x). À mão: dω = ∂x(x) − ∂y(−y) = 1 + 1 = 2, diferente de zero — e as células aparecem na tela.
  2. Marque usar ω = df, com f = x*y. As células colapsam: o número vai a 0,00.
  3. Troque f por qualquer outra coisa — x^2 - y^2, sin(x)*y^3, exp(x)*cos(y). Sempre 0,00. Não é sorte da função escolhida: é Clairaut.

Vale insistir num ponto que costuma passar batido: o inverso é falso fora de um domínio contrátil. Formas fechadas que não são exatas medem topologia, e é isso que a cohomologia de De Rham conta — mas para ver isso seria preciso um laço que não encolhe a um ponto, e o retângulo aqui não tem nenhum.

Atividade 5

Fluxos que não comutam

[X, Y]i = Xj∂jYi − Yj∂jXi o colchete de Lie de dois campos vetoriais

Ande um tempo t ao longo de X, depois um tempo t ao longo de Y. Agora faça na ordem contrária. Os dois pontos de chegada não coincidem, e o vão entre eles é, em ordem dominante, t²[X, Y].

O colchete mede exatamente isso: o quanto dois fluxos deixam de comutar. E, como d, ele não precisa de métrica nem de conexão — é estrutura diferenciável pura. Três consequências que aparecem direto no curso:

No ÁLETRA

Plano euclidiano, leitura [X, Y] — |vão| = 1,44. O padrão é X = (1, 0) e Y = (0, x).

  1. Veja o quadrilátero: dois caminhos saem do mesmo ponto e chegam em pontos diferentes. O trecho grosso em laranja é o vão.
  2. A glosa mostra t²·|[X, Y]| ao lado do vão medido. Elas batem — o que você vê é o colchete, e não erro de integração acumulado.
  3. Ponha Y = (0, 1): dois campos constantes. O quadrilátero fecha e o vão vai a 0,00.
  4. Verifique a potência. Volte a Y = (0, x) e mexa em passo t: em t = 0,6 o vão é 0,36; em t = 1,2 é 1,44. Dobrar t quadruplica o vão, que é o t² da fórmula, medido.
Atividade 6

Curvatura não é o quanto entorta no espaço

Δθ = ∬S K dA holonomia de um laço fechado (Gauss–Bonnet)

Transporte paralelo é mover um vetor mantendo-o "o mais paralelo possível": ∇uV = 0. Numa superfície plana o resultado não depende do caminho. Numa superfície curva, depende — e dar uma volta fechada devolve o vetor rodado.

O ângulo dessa rotação é a integral da curvatura na região cercada. Em Relatividade Geral isso é o tensor de Riemann: [∇μ, ∇ν]Vα = RαβμνVβ. Riemann é a falha das derivadas covariantes em comutar, e a holonomia é essa falha integrada.

Guarde a frase, porque a atividade existe para desmentir a intuição errada: curvatura não é o quanto a superfície entorta dentro do espaço. É se o transporte lembra o caminho.

No ÁLETRA

O numeral mostra o ângulo e a glosa mostra a área cercada. Percorra a tabela na ordem — ela é o argumento inteiro.

o ângulo contra a área, em cinco superfícies
superfícieânguloáreaK
esfera 0,77 0,77 +1: o ângulo é a área
cilindro 0,00 1,81 0: cerca área e não roda nada
cone −0,00 1,20 0, e ainda assim não é o plano
hiperbólico −0,61 0,61 −1: roda para o outro lado
toro 0,19 1,21 varia e se cancela dentro do laço
  1. Na esfera, os dois números são o mesmo. Com K = 1 a integral da curvatura é a área, e Gauss–Bonnet acontece na tela.
  2. O cilindro é o argumento. Ele visivelmente entorta no espaço, o laço cerca 1,81 de área, e o vetor volta idêntico. Enrole uma folha de papel: nada esticou, nada rasgou, e a geometria não mudou. Curvatura extrínseca e intrínseca não são a mesma coisa, e o número diz qual é qual.
  3. O cone tem K = 0 em toda parte e mesmo assim não é o plano — o déficit angular está concentrado no vértice, onde a carta acaba. Curvatura zero em todo ponto não implica ser o plano.
  4. No hiperbólico o sinal vira. É por isso que "o ângulo mede a curvatura" tem informação além do módulo.
  5. Use o slider posição para caminhar com o vetor ao longo do laço e ver a rotação se acumular lado a lado. Desmarque andar sozinho para controlar você mesmo.
  6. No toro, arraste o ponto pelo tubo. Por fora K > 0, por dentro K < 0, e o ângulo troca de sinal na sua frente.
Atividade 7

Maré é a única coisa que se sente

d²xα/dλ² + Γαβγ (dxβ/dλ) (dxγ/dλ) = 0 a equação da geodésica
D²ξα/dλ² = −Rαβγδ uβξγuδ o desvio geodésico

Uma geodésica é a curva cuja tangente é transportada paralelamente ao longo dela mesma — "a mais reta possível". O Γ não é tensor: ele existe para tornar a derivada covariante, e é por isso que numa carta (θ, φ) um grande círculo aparece como curva enquanto na esfera ele é reto.

A segunda equação é onde a Relatividade Geral vira física. Pelo princípio de equivalência, um observador em queda livre não sente campo gravitacional nenhum — localmente ele está em Minkowski. Mas duas partículas em queda livre se aproximam ou se afastam uma da outra, e essa deriva relativa não se apaga com escolha de referencial. É maré, e a fonte dela é R.

Curvatura é a única coisa gravitacional que se pode medir sem olhar para fora.

No ÁLETRA

A leitura traça a geodésica e, com traçar a vizinha marcado, uma segunda que parte paralela. A glosa mostra a separação no início e no fim.

duas geodésicas vizinhas, quatro geometrias
superfícieseparaçãoo que R fez
esfera 0,12 → 0,08 K > 0: convergem
cilindro 0,16 → 0,16 K = 0: seguem paralelas
hiperbólico 0,12 → 0,74 K < 0: fogem uma da outra
Schwarzschild 1,47 → 2,50 estiramento radial de maré
  1. O cilindro é o quinto postulado de Euclides valendo numa superfície que parece curva: duas paralelas continuam paralelas para sempre.
  2. Em Schwarzschild a separação cresce ao longo da queda. É o termo que a divulgação chama de espaguetificação, e ele está aí como número.
  3. Mexa em alcance para prolongar a geodésica e ver a separação evoluir.
  4. Na esfera, gire a superfície com o mouse e confira que a curva está num plano que passa pelo centro. É a definição de grande círculo — e é assim que se testa que a integração está certa, e não só bonita.
Atividade 8

O horizonte não é o fim de nada

ds² = dr²/(1 − 2M/r) + r² dφ² Schwarzschild, fatia equatorial, t constante
K = −M/r³ a curvatura gaussiana dessa fatia

Leia a métrica devagar, componente por componente. gφφ = r² diz que um círculo de coordenada r tem comprimento 2πr, exatamente como no plano. Ou seja: r não é uma distância medida até o centro. É a coordenada definida pelo comprimento do círculo.

Toda a deformação está na direção radial. A distância própria entre dois círculos é ∫ dr/√(1 − 2M/r), maior que Δr, e a razão entre as duas cresce sem limite ao se aproximar de 2M.

Agora as duas singularidades, que é onde quase todo mundo tropeça uma vez. Em r = 2M o grr diverge — mas K = −M/r³ vale −1/8M² ali, um número perfeitamente finito. Quem acaba é a carta, não a geometria. Em r → 0 é K que diverge, e contra isso não há mudança de coordenadas que ajude.

No ÁLETRA

Abrir Schwarzschild. O funil à direita é o paraboloide de Flamm, z(r) = 2√(2M(r−2M)) — não é ilustração de buraco negro, é a métrica dos campos, mergulhada isometricamente.

  1. Os círculos desenhados no funil são as superfícies de r constante — as "esferas concêntricas" da fatia. Repare como eles adensam na direção da garganta: os raios estão igualmente espaçados em r, e as distâncias entre eles não estão.
  2. Na carta, a faixa hachurada à esquerda é r < 2M. Arraste o ponto naquela direção: ele para, e a mensagem distingue as duas espécies de singularidade.
  3. Troque para geodésica e aponte v para dentro (vr negativo). A curva para, e o aviso diz que quem acabou foi a carta.
  4. O funil também acaba na garganta, e por um motivo mais forte que desenho: dentro do horizonte a fatia estática não é uma superfície do espaço, e nenhum mergulho a alcança. A carta continua desenhando lá porque lá aquilo ainda é geometria.
  5. Teste a honestidade da ferramenta. Edite grr para qualquer outra coisa. O funil desaparece com um aviso, porque a superfície desenhada deixaria de ser a métrica escrita. Os dois painéis nunca mostram geometrias diferentes em silêncio.

Cuidado com a leitura clássica errada do funil: o que diverge na garganta é a inclinação da parede, não o comprimento dela. A distância própria de r = 3M até o horizonte é finita. Você chega lá — o que não dá é para ficar parado.

Atividade 9

A simetria que resolve a órbita

(ℒξg)ij = ξk∂kgij + gkj∂iξk + gik∂jξk = 0 a condição de Killing

Arraste tudo ao longo do fluxo de ξ. Se comprimentos e ângulos sobreviverem à viagem, o fluxo é uma isometria e ξ é um campo de Killing. A Lie derivada da métrica mede exatamente a taxa com que os comprimentos mudam, então a condição é ela zerar.

Os dois últimos termos são o que separa esta conta de "derivar g na direção de ξ": o fluxo não só leva o ponto, ele também roda e estica a base coordenada, e o que a métrica sente é a soma das três coisas.

E aqui a geometria vira física, num teorema de uma linha: se ξ é de Killing, ⟨ξ, u⟩ é constante ao longo de toda geodésica. Em Schwarzschild, ξ = ∂φ dá L = r²·(dφ/dλ), o momento angular; ∂t daria a energia. É com esses dois números que se integra uma órbita, e eles não vieram de força nenhuma — vieram de a métrica não depender de φ nem de t.

No ÁLETRA

Schwarzschild, leitura Killing — abre em ξ = ∂φ, com ‖ℒξg‖ = 0,00.

  1. A curva amarela é a órbita do fluxo — o círculo de r constante. O vetor aparece nas duas pontas dela, e o bloco mostra |v| sob o fluxo: 2,02 → 2,02. A viagem não mexeu no comprimento: isso é a isometria, medida.
  2. Agora o que importa: ⟨ξ, u⟩ na geodésica: 9,00 → 9,00. Confira à mão — gφφuφ = r²·uφ = 36 × 0,25 = 9,00. É o momento angular, e ele fica parado enquanto a geodésica anda.
  3. Arraste o ponto. O valor de L muda — outra órbita, outro momento angular — e continua igual nas duas pontas. Conservado não quer dizer fixo: quer dizer que não muda ao longo do movimento.
  4. Na esfera, o mesmo ∂φ dá sen²θ·(dφ/dλ), que é a relação de Clairaut da navegação. A mesma conta, três séculos antes de Schwarzschild.

O erro que vale cometer de propósito

Na esfera, troque ξ para (1 ; 0), que é ∂θ. O defeito sobe para 0,90 e a glosa passa a mostrar 7,46 no pior ponto da carta. Agora arraste o ponto até o equador: o defeito pontual cai para 0,00 — e ∂θ continua não sendo simetria da esfera.

Não há contradição. O defeito é pontual, e em θ = π/2 mexer em θ não muda sen²θ em primeira ordem. Por isso o painel mostra dois números: um zero sozinho quer dizer "de Killing aqui", e só o par quer dizer "campo de Killing". O bloco confirma pelo outro lado — mesmo com defeito 0,00 no equador, |v| sob o fluxo: 0,42 → 0,24, porque o fluxo finito sai do equador.

Onde não há simetria nenhuma

A fita de Möbius abre com defeito 0,89, porque guu depende das duas coordenadas e nenhuma direção coordenada é simetria dela. O comprimento vai de 0,56 a 0,61 sob o fluxo, e a carga escapa de 0,40 para 0,48.

Vale registrar por quê. Quase toda superfície de curso tem simetria — esfera, cilindro, cone, toro, Schwarzschild, todas abrem aqui com zero —, e isso ensina a esperar que sempre haja uma. Uma superfície qualquer não tem nenhuma, e é por isso que problemas de Relatividade Geral que se resolvem no papel são sempre os simétricos.

Levar para a aula

Duas das oito superfícies não têm painel de ℝ³. O plano euclidiano por falta de graça. O plano hiperbólico por teorema: Hilbert provou que não existe mergulho isométrico completo de H² em ℝ³. Não é recurso faltando — é o próprio conteúdo avisando que a carta às vezes é tudo o que se pode ter, e que ela basta.